:Yana:ZZZ: Economy (2010-12-11)

運用倍率（もしくは運用収益率）を正規分布と想定することは、有用なのでしょうか？

まず、「ホンネの投資教室」の「”マネー運用感覚”速習入門講座　（４）最悪のケースについて「金額で」見当をつけよう」から引用します。

　大まかには、期待リターンを中心として上下この幅の中に６８％が、また上下にこの幅の２倍の範囲内であれば９５％のケースの収益率が、この幅の中に入ると想定される。つまり、１年後に起こりうる９５％の中で最悪のケースの目処は６.５％から２１．６％の２倍を引いてマイナス３６.７％ということになる。さらに悪いケースもあり得るのだが起こる確率が低くなる。金融の世界では、このマイナス二標準偏差のケースくらいを「最悪」として想定することが多い。他の資産についても同じ要領で「最悪の場合」が計算できる。

また、「資産設計への道」の「ボラティリティを実感する方法」から引用します。

変動率は標準偏差を計算することで数値化することができます。統計学の世界になりますが、正規分布を前提とすると平均値からプラスマイナス２標準偏差の中に発生する確率の９５．４％が収まります。つまりこの外側になる確率は５％以下ですから、標準偏差の２倍の変動が最悪の場合に想定しておく状況ということになります。

ここで、毎年の運用倍率（もしくは運用収益率）を独立な正規分布（平均：μ、標準偏差：σ）と想定すると、１年の運用で、μ－σ以上μ＋σ以下になる確率が約６８．３％（≒（０．８４１３－０．５）×２）に、μ－２σ以上μ＋２σ以下になる確率が約９５．４％（≒（０．９７７２－０．５）×２）になります。
そして、μ－２σを「最悪」とすると、１年の運用で、「最悪」以上になる確率が約９７．７％（≒０．９７７２）になりますし、これが２回続く、つまり、２年の運用で、「最悪」以上が続く確率が約９５．５％（≒０．９７７２^２）になりますし、これが３２回続く、つまり、３２年の運用で、「最悪」以上が続く確率が約４７．８％（≒０．９７７２^３２）になりますが、これは、３２年の運用で、「最悪」以下に１回はなる確率が約５２．２％（≒１－０．９７７２^３２）ということです。

このように、未来の運用倍率（もしくは運用収益率）を正規分布と想定すると、μ－２σ以上になる確率などを計算できますが、過去の運用倍率（もしくは運用収益率）は正規分布なのでしょうか？

過去の分布について、「金融工学の悪魔　騙されないためのデリバティブとポートフォリオの理論・入門」（著者：吉本佳生、１９９９年１０月２０日、第１版第４刷）の８６ページから引用します。

　オプション価格の計算をするとき、よく利用される確率分布は、正規分布と二項分布の二つです。円相場や株価などの原資産価格が、無限に細かな時間を単位として、無限に細かな幅で連続的に変化すると想定するモデルでは、その変化率は正規分布にしたがうと考えることが多く、一方、たとえば一分ごとに一銭刻みで変化するというように、離散的な変化を想定するモデルでは、その変化率は二項分布にしたがうと考えることが多いのです。前者の正規分布を使うモデルの代表がブラック＝ショールズ・モデルです（正確に言うと、対数正規分布が使われています）。

　おおまかにみると、現実の円相場の変化率は正規分布に類似した分布になっています。しかし、きちんと比較すると、一日単位で測った円相場の過去の変化率は、正規分布にはなっていません。同じ標準偏差をもつ正規分布と比べてみると、たとえば一日に三円以上も変化するなどの、極端に大きな変化が生じる確率は、正規分布よりも現実の分布の方がかなり高いのです。またその一方で、一日の間にほとんど変化しないという現象が起きる確率も、現実の方が高いのです。その代わり、中ぐらいの変化率が生じる確率は、正規分布に比べて低いことになります。つまり、同じ標準偏差をもつ正規分布と比べると、現実の円相場の変化は、ときに大きく変化したり、ときに変化しなくなったりするという感じで、変化が不安定なときと安定しているときの差が少し激しいのです。

ここで、「一日単位で測った円相場の過去の変化率」は正規分布（もしくは対数正規分布）ではなく、「極端に大きな変化が生じる確率」が正規分布（もしくは対数正規分布）よりも「かなり高い」ということですが、期間や資産を変更した場合の「過去の変化率」を確認したいところです。

正規分布の性質 (2009-08-11)

正規分布について、「すぐに役立つ統計分布」（著者：蓑谷千凰彦、１９９８年７月２４日、第１刷）を参考にして、性質を確認します。

パラメータ: μ、σ＞０
範囲: －∞＜ｘ＜∞
確率密度関数: （（２π）^１／２σ）^－１ｅ^{－（２σ^２）^－１（ｘ－μ）^２}
最頻値（モード）: μ
中央値（中位数）: μ
平均（期待値）: μ
分散: σ^２

正規分布（平均：μ、分散：σ^２）に従う確率変数Ｘを、次のように表すことにします。

Ｘ～Ｎ（μ，σ^２）

Ｘ～Ｎ（μ，σ^２）のとき、定数ａと定数ｂを使用した確率変数Ｙ＝ａ＋ｂＸは、Ｙ～Ｎ（ａ＋ｂμ，ｂ^２σ^２）になりますし、確率変数Ｚ＝（Ｘ－μ）／σは、Ｚ～Ｎ（０，１）になります。

確率変数Ｘ_１と確率変数Ｘ_２が独立で、Ｘ_１～Ｎ（μ_１，σ_１^２）で、Ｘ_２～Ｎ（μ_２，σ_２^２）のとき、定数ｃ_１と定数ｃ_２を使用した確率変数Ｙ＝ｃ_１Ｘ_１＋ｃ_２Ｘ_２は、Ｙ～Ｎ（ｃ_１μ_１＋ｃ_２μ_２，ｃ_１^２σ_１^２＋ｃ_２^２σ_２^２）になります。

確率変数Ｚ_１と確率変数Ｚ_２が独立で、Ｚ_１～Ｎ（０，１）で、Ｚ_２～Ｎ（０，１）のとき、確率変数Ｙ＝Ｚ_１Ｚ_２の確率密度関数は、次のようになります（Ｋ_０（ｕ）は「第Ⅲ種の修正ベッセル関数」）。

π^－１Ｋ_０（｜ｙ｜）
Ｋ_０（ｕ）＝∫_０^∞（１＋ｔ^２）^－１／２ｃｏｓ（ｕｔ）ｄｔ

ここで、運用倍率（もしくは運用収益率）を正規分布と想定してみます。
例えば、運用倍率を正規分布と想定して、μ＝２とすると、運用倍率が１倍から２倍になる確率と２倍から３倍になる確率が同じになります。

まず、正規分布の範囲は－∞＜ｘ＜∞ですが、この範囲の確率密度関数は０より大きいので、運用倍率を正規分布と想定すると、運用倍率が０倍未満になる確率が０より大きいことになり、（元手額を失うことが限度で）運用倍率が０倍以上になる運用には使用できません。
また、運用収益率を正規分布と想定すると、運用収益率が－１００％未満になる確率が０より大きいことになり、（元手額を失うことが限度で）運用収益率が－１００％以上になる運用には使用できません。

次に、複利で運用した場合について、独立な確率変数の積を使用してみると、確率変数Ｚ_１と確率変数Ｚ_２が独立で、Ｚ_１～Ｎ（０，１）で、Ｚ_２～Ｎ（０，１）のとき、確率変数Ｙ_Ｚ＝Ｚ_１Ｚ_２の確率密度関数は、正規分布の確率密度関数になりませんので、確率変数Ｙ_Ｚは正規分布に従いません。
また、確率変数Ｘ_１と確率変数Ｘ_２が独立で、Ｘ_１～Ｎ（μ_１，σ_１^２）で、Ｘ_２～Ｎ（μ_２，σ_２^２）のとき、確率変数Ｙ_Ｘ＝Ｘ_１Ｘ_２は正規分布に従うと仮定すると、次のような確率変数は正規分布に従うことになりますが、確率変数Ｙ_Ｚは正規分布に従いませんので、確率変数Ｙ_Ｘは正規分布に従わないことになります。

（Ｘ_１Ｘ_２－μ_２Ｘ_１－μ_１Ｘ_２＋μ_１μ_２）／（σ_１σ_２）＝（（Ｘ_１－μ_１）／σ_１）（（Ｘ_２－μ_２）／σ_２）

つまり、ある年と次の年の運用倍率を独立な正規分布と想定すると、この２年の複利の運用倍率は正規分布になりません。

なお、単利で運用した場合について、独立な確率変数の和を使用してみると、確率変数Ｘ_１と確率変数Ｘ_２が独立で、Ｘ_１～Ｎ（μ_１，σ_１^２）で、Ｘ_２～Ｎ（μ_２，σ_２^２）のとき、確率変数Ｙ＝Ｘ_１＋Ｘ_２－１は、Ｙ～Ｎ（μ_１＋μ_２－１，σ_１^２＋σ_２^２）になります。
つまり、ある年と次の年の運用倍率を独立な正規分布と想定すると、この２年の単利の運用倍率は正規分布になります。

対数正規分布の性質 (2009-12-11)

対数正規分布について、「すぐに役立つ統計分布」（著者：蓑谷千凰彦、１９９８年７月２４日、第１刷）を参考にして、性質を確認します。

パラメータ: μ、σ＞０
範囲: ０＜ｘ＜∞
確率密度関数: （（２π）^１／２σｘ）^－１ｅ^{－（ｌｏｇ_ｅｘ－μ）^２／（２σ^２）}
最頻値（モード）: ｅ^{μ－σ^２}
中央値（中位数）: ｅ^μ
平均（期待値）: ｅ^{μ＋２^－１σ^２}
分散: ｅ^{２μ＋σ^２}（ｅ^{σ^２}－１）

確率変数Ｙが正規分布（平均：μ、分散：σ^２）に従うとき、確率変数Ｘ＝ｅ^Ｙは対数正規分布に従うといい、次のように表すことにします。

ｌｏｇ_ｅＸ～Ｎ（μ，σ^２）

確率変数Ｘ_１と確率変数Ｘ_２が独立で、ｌｏｇ_ｅＸ_１～Ｎ（μ_１，σ_１^２）で、ｌｏｇ_ｅＸ_２～Ｎ（μ_２，σ_２^２）のとき、確率変数Ｙ＝Ｘ_１Ｘ_２は、ｌｏｇ_ｅＹ～Ｎ（μ_１＋μ_２，σ_１^２＋σ_２^２）になります。

ここで、運用倍率（もしくは運用収益率）を対数正規分布と想定してみます。
例えば、運用倍率を対数正規分布と想定して、μ＝ｌｏｇ_ｅ２とすると、運用倍率が１倍から２倍になる確率と２倍から４倍になる確率が同じになります。

まず、対数正規分布の範囲は０＜ｘ＜∞ですが、運用倍率を対数正規分布と想定すると、運用倍率が０倍以下には対応しませんので、（元手額を失うことが限度で）運用倍率が０倍以上になる運用には使用できません。
また、運用収益率を対数正規分布と想定すると、運用収益率が０％以下には対応しませんので、（元手額を失うことが限度で）運用収益率が－１００％以上になる運用には使用できません。

次に、複利で運用した場合について、独立な確率変数の積を使用してみると、確率変数Ｘ_１と確率変数Ｘ_２が独立で、Ｘ_１は対数正規分布に従い、Ｘ_２も対数正規分布に従うとき、確率変数Ｙ＝Ｘ_１Ｘ_２は対数正規分布に従います。
つまり、ある年と次の年の運用倍率を独立な対数正規分布と想定すると、この２年の複利の運用倍率は対数正規分布になります。

フラクタルとベキ分布 (2009-08-11)

まず、ベキ乗則とベキ分布について、「エコノフィジックス　市場に潜む物理法則」（著者：高安秀樹・高安美佐子、２００１年１２月１０日、１版１刷）の１８５ページから引用します。

ベキ乗則　power law　関数型がベキ乗（ｘ^ａ）に従うような法則。ベキ乗関数はスケールを変える変換（ｘ→λｘ）をしても関数型が変化しないので，拡大や縮小をしても同じように見えるフラクタル性を定量的に表現することになる。

ベキ分布　power law distribution　確率密度関数がベキ乗の関数に従うような分布。理想的には，平均値が０で標準偏差が無限大，というような一見奇妙な性質があるが，分布としては非常に強い安定性がある。数学的には安定分布のすそのの部分がベキ分布になっているので，大きなすそのをもつ分布に従う変数を足し合わせるだけで拡張された中心極限定理によって，ベキ分布が実現しうる。

また、価格の変位について、「エコノフィジックス　市場に潜む物理法則」の４６ページから引用します。

　価格の変位の分布に大きなすそのがあることは普遍的であっても，その関数形まで普遍的かどうかは，まだはっきりとはしていない。為替のデータに関しては，ベキ乗で近似すると指数は－１．７程度になるのに対し，株価に関しては，ニューヨーク市場の膨大なデータを解析した結果，指数がほぼ－３のベキ分布によって，よく近似されることが報告されている^６）。

ここで、価格の変位ではなく、運用倍率（もしくは運用収益率）を検討したいところですが、示量変数について、「エコノフィジックス　市場に潜む物理法則」の３４ページから引用します。

　スケールを表す量ｘとしては，足し算が成立するような量で，専門的には示量変数とよばれるものに限定される。たとえば，水１００ｇと水２００ｇを足し合わせれば３００ｇになるので，重量は示量変数であるが，３０℃の水と２０℃の水を同量足し合わせても，５０℃のお湯にはならないことからわかるように，温度に関しては足し算が成立しないので，温度は示量変数ではない。本書に登場する量としては，たとえば，単位時間あたりの売買取引の密度や企業の成長率などは，示量変数ではなく，示強変数とよばれる量である。一般にフラクタル解析をする場合には，扱う変数が示量変数であるかどうかを最初に考慮しておかなければならない。

運用倍率（もしくは運用収益率）については、重量などの示量変数ではなく、企業の成長率などの示強変数のようですので、フラクタルでベキ分布とは想定しませんが、正規分布（もしくは対数正規分布）で確認しているように、ベキ分布（もしくは対数ベキ分布）について、独立な確率変数の積などを確認したいところです。

とりあえずの対応 (2009-10-11)

範囲限定 (2010-06-11)

資産運用と資産配分 (2010-12-11)

目的 (2010-02-11)

総量比例と等額と等量 (2010-10-11)

資産交換機関に資産を預けて交換している運用者の資産配分を考えてみます。
預けられる資産は資産Ａと資産Ｂ、交換の状況を「１個の資産Ａと２個の資産Ｂを交換」、全ての運用者が預けた資産の合計を総資産、総資産の状況を「資産Ａの個数は資産Ｂの個数の２倍」として、資産Ａなら３０個に相当する資産を、資産Ａと資産Ｂに配分します。

総量比例と等額と等量
	資産Ａ	資産Ｂ	交換の状況が変更された場合	総資産の状況が変更された場合
総量比例	２４個	１２個	配分を変更しない	配分を変更する
等額	１５個	３０個	配分を変更する	配分を変更しない
等量	２０個	２０個	配分を変更しない	配分を変更しない

ここで、運用倍率（もしくは運用収益率）について、総資産を基準とすると、全ての運用者が預けた資産の合計が総資産ですので、基準より上の運用者がいる場合には、基準より下の運用者がいることになります。
総量比例の運用者は、交換の状況が変更された場合でも、資産の比率が総資産と同じですので、基準と同じ運用倍率（もしくは運用収益率）になりますし、総資産の状況が変更された場合でも、資産の比率を総資産と同様に変更できれば、基準と同じ運用倍率（もしくは運用収益率）になります。
等額や等量の運用者は、資産の比率が総資産と異なりますので、基準と異なる運用倍率（もしくは運用収益率）になります。

なお、総量比例の運用者が、基準と同じ運用倍率（もしくは運用収益率）になるとしても、未来の確率分布はわかりませんし、資産が増えることもあれば、減ることもあるでしょう。

また、例えば、株式運用ということでは、総量比例が時価総額ウェイト、等額が等金額ウェイト、等量が等株数ウェイトになるようです。

時価総額ウェイトと等金額ウェイトと等株数ウェイト
	交換の状況が変更された場合	総資産の状況が変更された場合
時価総額ウェイト	配分を変更しない	配分を変更する
等金額ウェイト	配分を変更する	配分を変更しない
等株数ウェイト	配分を変更しない	配分を変更しない

効率的フロンティア (2010-12-11)

運用収益率について、未来の確率分布はわかりませんし、平均や標準偏差や相関係数が定義されないかもしれませんが、定義されると想定して、資産ｉの平均をμ_ｉ、資産ｉの標準偏差をσ_ｉ、資産ｉと資産ｊの相関係数をρ_ｉｊとして、資産配分を考えてみます。
資産の比率について、資産ｉにｗ_ｉを配分して、Σｗ_ｉ＝１とすると、合計した運用収益率の平均と標準偏差は、次のようになります。

合計した運用収益率の平均と標準偏差
	合計した運用収益率の平均	合計した運用収益率の標準偏差
資産Ａと資産Ｂに配分した場合	ｗ_Ａμ_Ａ＋ｗ_Ｂμ_Ｂ	（ｗ_Ａ^２σ_Ａ^２＋２ｗ_Ａｗ_Ｂσ_Ａσ_Ｂρ_ＡＢ＋ｗ_Ｂ^２σ_Ｂ^２）^１／２
資産ｉに配分した場合	Σｗ_ｉμ_ｉ	（ΣΣｗ_ｉｗ_ｊσ_ｉσ_ｊρ_ｉｊ）^１／２

ここで、相関係数の範囲は－１≦ρ_ｉｊ≦１ですが、相関係数が１未満の場合には、合計した運用収益率について、同じ平均であれば、標準偏差が小さくなるように配分したいところですが、次のようなソフトウェアを使用します。

例えば、次のような資産について、合計した運用収益率の平均と標準偏差を計算できました。

平均と標準偏差と相関係数
	平均	標準偏差	相関係数
	平均	標準偏差	資産Ａ	資産Ｂ	資産Ｃ
資産Ａ	５％	１０％	１	－０．５	０
資産Ｂ	１０％	２０％	－０．５	１	０．５
資産Ｃ	１５％	３０％	０	０．５	１

平均に変数「m」を、標準偏差に変数「s」を、相関係数に変数「p」を使用しています。

# (C) 2010 Yana
library(tseries)
m <- c(.05, .1, .15)
s <- c(.1, .2, .3)
p <- matrix(c(1, -.5, 0, -.5, 1, .5, 0, .5, 1), length(m))
plot(s, m, xlim = c(0, max(s)), ylim = c(0, max(m)))
y <- seq(min(m), max(m), length.out = 16)
x <- c()
for (i in y) {
        j <- portfolio.optim(t(m), i, covmat = s %*% t(s) * p)
        x <- c(x, sqrt((j$pw * s) %*% t((j$pw * s) %*% p)))
}
lines(x, y)

資産運用と実績 (2010-12-11)

目的 (2007-07-11)

計算例 (2007-09-11)

まず、いわゆる「表計算ソフト」として、次のようなソフトウェアを使用します。

OpenOffice.org

次に、元手額と評価額などのデータを入力します。

データの入力
	A	B	C
1	評価日	元手額	評価額
2	2004-12-31	10	20
3	2005-03-31	11	22
4	2005-06-30	12	24

この例では、運用する資産を追加して、元手額を増やしていますが、このような元手増減額（キャッシュ・フロー）の影響を含まない時間加重収益率を参考にして、数式を入力します。

注意：元手増減額（キャッシュ・フロー）の影響を含む金額加重収益率には、対応していません。

数式の入力
	A	B	C	D	E	F	G
1	評価日	元手額	評価額	期初型運用倍率	期末型運用倍率	累積運用倍率	年相乗平均運用倍率
2	2004-12-31	10	20			1
3	2005-03-31	11	22	=C3/(C2-B2+B3)	=(C3+B2-B3)/C2	=F2*MIN(D3;E3)	=(F3/F$2)^(365.2425/(A3-A$2))
4	2005-06-30	12	24	=C4/(C3-B3+B4)	=(C4+B3-B4)/C3	=F3*MIN(D4;E4)	=(F4/F$2)^(365.2425/(A4-A$2))

ここで、Ｄ３の期初型運用倍率はＡ２の評価日の直後に、Ｅ３の期末型運用倍率はＡ３の評価日の直前に、運用する資産を追加した場合の運用倍率になります。
そして、Ｆ３の累積運用倍率では、Ｄ３の期初型運用倍率とＥ３の期末型運用倍率の小さい方の値を使用しています。

注意：期初型運用倍率と期末型運用倍率について、分子や分母が０以下の場合には、対応していません。

数式の出力
	A	B	C	D	E	F	G
1	評価日	元手額	評価額	期初型運用倍率	期末型運用倍率	累積運用倍率	年相乗平均運用倍率
2	2004-12-31	10	20			1
3	2005-03-31	11	22	1.048	1.050	1.048	1.208
4	2005-06-30	12	24	1.043	1.045	1.093	1.197

なお、運用する資産を削減して、元手額を減らす場合にも、同じ数式を使用します。

数式の出力
	A	B	C	D	E	F	G
1	評価日	元手額	評価額	期初型運用倍率	期末型運用倍率	累積運用倍率	年相乗平均運用倍率
2	2004-12-31	10	20			1
3	2005-03-31	9	18	0.947	0.950	0.947	0.803
4	2005-06-30	8	16	0.941	0.944	0.892	0.793

また、元手額ではなく、元手増減額（キャッシュ・フロー）を入力する場合には、別の数式を使用します。

数式の入力
	A	B	C	D	E	F	G
1	評価日	元手増減額	評価額	期初型運用倍率	期末型運用倍率	累積運用倍率	年相乗平均運用倍率
2	2004-12-31		20			1
3	2005-03-31	1	22	=C3/(C2+B3)	=(C3-B3)/C2	=F2*MIN(D3;E3)	=(F3/F$2)^(365.2425/(A3-A$2))
4	2005-06-30	1	24	=C4/(C3+B4)	=(C4-B4)/C3	=F3*MIN(D4;E4)	=(F4/F$2)^(365.2425/(A4-A$2))

数式の出力
	A	B	C	D	E	F	G
1	評価日	元手増減額	評価額	期初型運用倍率	期末型運用倍率	累積運用倍率	年相乗平均運用倍率
2	2004-12-31		20			1
3	2005-03-31	1	22	1.048	1.050	1.048	1.208
4	2005-06-30	1	24	1.043	1.045	1.093	1.197

数式の出力
	A	B	C	D	E	F	G
1	評価日	元手増減額	評価額	期初型運用倍率	期末型運用倍率	累積運用倍率	年相乗平均運用倍率
2	2004-12-31		20			1
3	2005-03-31	-1	18	0.947	0.950	0.947	0.803
4	2005-06-30	-1	16	0.941	0.944	0.892	0.793

作者（Ｙａｎａ）の実績 (2010-12-11)

数式の出力
	A	B	C	D	E	F	G
1	評価日	元手額	評価額	期初型運用倍率	期末型運用倍率	累積運用倍率	年相乗平均運用倍率
2	2004-12-31	?	?			1
3	2005-03-31	?	?	1.017	1.018	1.017	1.073
4	2005-06-30	?	?	1.029	1.029	1.047	1.097
5	2005-09-30	?	?	1.035	1.036	1.084	1.113
6	2005-12-31	?	?	1.019	1.020	1.104	1.104
7	2006-03-31	?	?	1.005	1.005	1.109	1.087
8	2006-06-30	?	?	1.000	1.000	1.109	1.072
9	2006-09-30	?	?	1.030	1.031	1.143	1.079
10	2006-12-31	?	?	1.042	1.042	1.190	1.091
11	2007-03-31	?	?	1.010	1.010	1.202	1.086
12	2007-06-30	?	?	1.046	1.046	1.258	1.096
13	2007-07-31	?	?	0.984	0.984	1.238	1.086
14	2007-08-31	?	?	0.967	0.967	1.197	1.070
15	2007-09-30	?	?	1.034	1.034	1.239	1.081
16	2007-10-31	?	?	1.022	1.023	1.266	1.087
17	2007-11-30	?	?	0.955	0.955	1.210	1.068
18	2007-12-31	?	?	1.011	1.011	1.223	1.070
19	2008-01-31	?	?	0.946	0.945	1.156	1.048
20	2008-02-29	?	?	1.015	1.015	1.174	1.052
21	2008-03-31	?	?	0.960	0.959	1.126	1.037
22	2008-04-30	?	?	1.042	1.042	1.174	1.049
23	2008-05-31	?	?	1.014	1.014	1.190	1.052
24	2008-06-30	?	?	0.986	0.986	1.174	1.047
25	2008-07-31	?	?	0.987	0.987	1.158	1.042
26	2008-08-31	?	?	0.979	0.979	1.134	1.035
27	2008-09-30	?	?	0.927	0.927	1.051	1.013
28	2008-10-31	?	?	0.892	0.892	0.937	0.983
29	2008-11-30	?	?	0.963	0.963	0.903	0.974
30	2008-12-31	?	?	0.992	0.992	0.895	0.973
31	2009-01-31	?	?	0.971	0.971	0.869	0.966
32	2009-02-28	?	?	1.014	1.014	0.881	0.970
33	2009-03-31	?	?	1.041	1.042	0.918	0.980
34	2009-04-30	?	?	1.042	1.042	0.957	0.990
35	2009-05-31	?	?	1.048	1.048	1.002	1.001
36	2009-06-30	?	?	1.012	1.012	1.014	1.003
37	2009-07-31	?	?	1.016	1.016	1.030	1.006
38	2009-08-31	?	?	1.008	1.008	1.038	1.008
39	2009-09-30	?	?	1.003	1.003	1.041	1.009
40	2009-10-31	?	?	1.015	1.015	1.057	1.011
41	2009-11-30	?	?	0.979	0.979	1.034	1.007
42	2009-12-31	?	?	1.031	1.032	1.067	1.013
43	2010-01-31	?	?	0.980	0.980	1.045	1.009
44	2010-02-28	?	?	1.004	1.004	1.050	1.009
45	2010-03-31	?	?	1.050	1.050	1.102	1.019
46	2010-04-30	?	?	1.019	1.019	1.124	1.022
47	2010-05-31	?	?	0.929	0.929	1.044	1.008
48	2010-06-30	?	?	0.989	0.989	1.032	1.006
49	2010-07-31	?	?	1.026	1.026	1.058	1.010
50	2010-08-31	?	?	0.977	0.977	1.034	1.006
51	2010-09-30	?	?	1.041	1.041	1.077	1.013
52	2010-10-31	?	?	0.996	0.996	1.073	1.012

資産運用と目標 (2010-08-11)

目的 (2008-01-11)

作者（Ｙａｎａ）の目標 (2009-06-11)

運用とその他の収支を考えてみます。

資産×運用倍率＋運用外収入－運用外支出

未来のことはわかりませんが、作者（Ｙａｎａ）の場合には、運用外収入が運用外支出よりも小さくなりそうですので、次のような目標を参考にしながら、運用しています。

運用倍率について、年金の運用の実績
運用外収入について、賃金の統計
運用外支出について、物価の統計

ここで、年金ということでは、作者（Ｙａｎａ）が加入している日本国の公的年金（国民年金と厚生年金）を下回らないように運用したいところです。
また、賃金と物価ということでは、作者（Ｙａｎａ）が生活している日本国の賃金と物価を下回らないように運用したいところです。

なお、運用だけの目標ではなく、運用とその他の収支の目標ということでは、運用外収入が運用外支出よりも小さくなっても、資産を削減しないようにしたいところです。

資産×（運用倍率－１）＋運用外収入－運用外支出≧０

年金の運用の実績 (2010-08-11)

年金の運用の実績について、時間加重収益率を参考にします。

年金積立金管理運用独立行政法人: 年金積立金管理運用独立行政法人
国家公務員共済組合連合会: 国家公務員共済組合連合会internet
地方公務員共済組合連合会: 地方公務員共済組合連合会
日本私立学校振興・共済事業団　共済事業本部: 私学共済事業｜トップページ
農林漁業団体職員共済組合: 農林年金WebSite
国民年金基金連合会: 国民年金基金
企業年金連合会: 企業年金連合会｜トップページ

年金積立金管理運用独立行政法人（市場運用資産全体）と企業年金連合会（全資産）については、時間加重収益率を確認できました。

時間加重収益率
	年金積立金管理運用独立行政法人（市場運用資産全体）	企業年金連合会（全資産）	作者（Ｙａｎａ）
平成１７年度	14.37%	22.68%	9.04%
平成１８年度	4.56%	5.62%	8.38%
平成１９年度	-6.10%	-9.88%	-6.33%
平成２０年度	-10.04%	-18.37%	-18.51%
平成２１年度	9.58%	17.84%	20.10%

なお、年金積立金管理運用独立行政法人と企業年金連合会について、平成２１年度の資産構成も確認できました。

平成２１年度の資産構成
		年金積立金管理運用独立行政法人	企業年金連合会
国内債券	市場運用	50.79%	36.7%
国内債券	財投債	16.75%	36.7%
国内株式		12.01%	17.1%
外国債券		8.26%	20.2%
外国株式		10.79%	25.4%
短期資産		1.41%
不動産			0.6%

資産運用と用語 (2009-12-11)

目的 (2007-10-11)

運用収益率と運用倍率 (2007-10-11)

まず、運用収益率と運用倍率には、次のような関係があります。

運用収益率＝（評価額－元手額）／元手額
運用倍率＝評価額／元手額
∴運用収益率＝運用倍率－１

次に、作者（Ｙａｎａ）は、次のような仮説を思いつきました。

複利や相乗平均などに対して、単利や相加平均などを使用してしまうことは、運用倍率よりも運用収益率の方が多い。

例えば、ある年の運用倍率を０．９倍、次の年の運用倍率を１．１倍として、この２年の複利の運用倍率を計算すると、０．９９倍（＝０．９×１．１）になりますが、運用倍率を運用収益率に変更して、ある年の運用収益率を－１０％、次の年の運用収益率を＋１０％として、この２年の複利の運用収益率を計算すると、±０％（＝－０．１＋０．１）にしてしまうことが多い、ということです。

また、「これだけは知っておこう！　統計学」（著者：東北大学統計グループ、２００２年１月１５日、初版第１刷）の１８１ページから引用します。

　このことを踏まえて，毎月の株式投資収益率が互いに独立とし，かつ同一の正規分布に従うとします。次に，１年間の収益率をＲとし，以下の式のように１２個の月間収益率（ｒ_１，ｒ_２，…，ｒ_１２）の和と考えます。

　Ｒ＝ｒ_１＋ｒ_２＋…＋ｒ_１２　（９．４）

ここで、月間収益率の平均（期待値）をμとすると、確率変数の和の期待値の公式から、年間収益率の平均（期待値）は１２μになり、月間収益率の分散をσ^２とすると、独立な確率変数の和の分散の公式から、年間収益率の分散は１２σ^２になりますが、これは、単利で運用した場合です。

確率変数の和の期待値の公式: Ｅ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｅ（Ｘ）＋Ｅ（Ｙ）
独立な確率変数の和の分散の公式: Ｖ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｖ（Ｘ）＋Ｖ（Ｙ）

なお、複利で運用した場合には、和ではなく、独立な確率変数の積を使用することになるようですが、分散の公式は確認できていません。

独立な確率変数の積の期待値の公式: Ｅ（ＸＹ）＝Ｅ（Ｘ）Ｅ（Ｙ）
独立な確率変数の積の分散の公式: Ｖ（ＸＹ）＝？

リターンとリスク (2009-12-11)

まず、運用収益率について、未来の確率分布はわかりませんし、平均や標準偏差が定義されないかもしれませんが、定義されると想定して、平均を平均リターン、標準偏差をリスクとしてみます。
ここで、同じ平均リターンであれば、リスクを低くしたいところですし、同じリスクであれば、平均リターンを高くしたいところですが、平均リターンが高くてリスクが低い運用は難しいようです。
なお、いわゆる「ハイ・リスク・ハイ・リターン」については、リスクが高い運用は平均リターンが高くなるということではなく、平均リターンが高い運用はリスクが高くなるということです。

平均リターンとリスク
	低リスク	高リスク
高平均リターン	高難度	低難度
低平均リターン	低難度	低難度

また、複利リターンについて、「シーゲル博士の株式長期投資のすすめ」（著者：ジェレミー・シーゲル、訳者：笠原高治、１９９９年９月１日、初版第２刷）の２５ページから引用します。

　複利リターンは算術リターンから年率リターンの分散σ^２の半分を引いたもの。ｒ_Ｇ≒ｒ_Ａ－１／２σ^２。

　投資家は複利リターンを長期に達成できる。複利リターンは常に算術リターンより低い。

ここで、「算術リターン」を平均リターン、「年率リターンの分散σ^２」の正の平方根をリスクとすると、次のような関係になり、例えば、平均リターンを１０％、リスクを２０％として、複利リターンを近似すると、８％（＝０．１－０．２^２／２）になります。

複利リターン≒平均リターン－リスク^２／２